Meist hat man irgendein Dreieck mit einem rechten Winkel und irgendwelchen Winkel in der Physik. Das kann man leicht trigonometrisch lösen.
Es gibt aber idealisierte Fälle, in denen man zwei 45° Winkel und einen rechten Winkel hat.
Also: α = β = 45° daraus folgt a = b, d.h. die Seiten sind gleich lang.
Wir kennen den Satz des Pytagoras mit : a² + b² = c²
Haben wir jetzt also zum Beispiel a = b gegeben und wollen c bestimmen / vereinfachen, so setzen wir dieses Verhälnis in den Satz des Pytagoras ein.
Also a² + a² = c² = 2a² und ziehen die Wurzel c = sqrt (2a²) = sqrt (2)a
Für den Fall, das a = b = 1 ergibt sich für c also c = sqrt (2)
Damit kann man zum Beispiel beim idealisierten schiefen Wurf sehr schön die Trigonomie umgehen um die Ausgangsgeschwindigkeit v(t=0) zu bestimmen (wenn man v_0x = v_0y kennt oder herleiten kann).
Natürlich kann man diese Verhälnisse der Seiten zueinander nicht nur für c aufstellen.
Wenn man weiss, dass a² + b² = c² = 2a² = 2b², kann man diese Gleichung auch nach a, bzw. b umstellen. Das ist zum Beispiel sinnvoll zur Berechnung der Hälfte der Flächendiagonalen in o.g. masselosen Quadrats. Nach a umgestellt ergibt sich durch umstellen: a = sqrt (c²/2) = c/sqrt(2).
[physikalische Anwendung:]
Bei der Berechnung des Trägheitsmoments für eine Drehachse durch den Schwerpunkt ergibt sich dann I = M r² = 4m (c/sqrt(2))² = 4m c²/2
Für den Fall das man eine versetzte schwerpunktachsensymmetrische Drehachse A hat, verwendet man den Steinersatz I_A = M r² + M d² . (Nochmal kurz zur Erklärung: das M beschreibt die Masse, da wir hier 4 Massen an den Ecken haben ist M = 4m, r ist der Abstand der Massen zum Schwerpunkt und d ist der Abstand der schwerpunktachsensymmetrischen Achse A zur Schwerpunktachse.)
Nehmen wir jetzt also einmal an wir haben gegeben das sich die Achse A auf einem Viertel der Flächendiagonalen befindet.
Wir wissen die Häfte der Flächendiagonalen a oder b ist a = b = c/sqrt(2), also ergibt sich für das Viertel ganz einfach a/2 = c/2sqrt(2).
Alles einsetzen und zusammenfassen (gleichnamig machen) und schon ist man fertig =) Trägheitsmomente müssen eben nicht immer über Volumenintegrale gelöst werden.
I_A = M r² + M d² = 4m (c/sqrt(2))²+ 4m (c/2sqrt(2))² = 4m c²/2 + 4m c² / 8 = 16m c²/8 + 4m c²/8 = 20/8 mc² = 2.5 mc²
(Edit: Das Trägheitsmoment der Schwerpunktachse kann nicht immer so einfach beschrieben werden. Oft muss man das Verhältnis Masse = Volumen* Dichte benutzen. Wenn das Volumen nicht so simpel geometrisch zu erkennen ist muss man ein Volumenintegral in karthesischen oder manchmal auch Zylinder- oder Kugelkoordinaten verwenden. Wie das geht, zeige ich ein anderes mal, aber die einige youtube Videos sind da sehr hilfreich, wenn es akut ist.)
Nachsatz/Wiederholung zum gleichnamig machen:
am o.g. Beispiel; Haben wir eine Summe aus zwei Brüchen, so können wir diese nur miteinander addieren, wenn die beiden Brüche den Gleichen Teiler/ Nenner haben.
Es empfiehlt sich immer ersteinmal zu sehen ob man die beiden Nenner nicht miteinander multiplizieren kann, also z.B. bei Nennern wir 4 und 5 wäre der Neue Nenner 20. Der Zähler muss dann so erweitert werden, das wenn man die Brüche wieder einzeln betrachten würde, sich beim kürzen genau das gleiche wie zuvor ergibt,
also 3/5 + 3/4 = 4*3/ 5*4 + 3*5/ 4*5 = 12/20 + 15/20 = 27/20
Wir haben hier ein schönes Beipiel, weil 8 durch 2 teilbar ist und damit wir nicht mit Dezimalzahlen rechnen müssen, machen wir den kleineren Nenner einfach größer!
Also 4/2 + 4/8 = 4*4 /4 *2 + 4/8 = 16/8 + 4/8 = 20/8 = 2.5
Tadaa, so einfach gehts! Wenn man manchmal so viel mit Buchstaben und irgendwelchen DGLs 2. Grades und all so einem Kram herumhantiert neigt man manchmal dazu sowas was eigentlich ganz einfach und Sekundarstufe 1 Wissen ist, zu vergessen =) Macht euch nichts draus ;P Manchmal steht man halt wie die Kuh vorm Tor. Mit der Routine macht man sowas auch wieder im Schlaf
Liebe Grüße und eine schöne sonnige Woche
Sarah ;)
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